פתרון של בעיות פוטנציאל בשני מימדים פונקציה אנליטית: פונקציה שבה החלק הממשי וגם החלק המדומה מקיימים את משוואת לפלס:

Transcript

1 פתרון של בעיות פוטנציאל בשני מימדים פונקציה אנליטית: פונקציה שבה החלק הממשי וגם החלק המדומה מקיימים את משוואת לפלס: w = f (z) = U (x, y) + iv (x, y), U = V = 0 הפונקציה f מעתיקה ממישור y) zלמישור = (x, ) V.w = (U, נשאף לכך שהקואורדינטה V תייצג את הפוטנציאל. בעיית הפוטנציאל: נתון תחום במישור (y, x )אשר הפוטנציאל ידוע על שפתו. יש למצוא את פונקצית הפוטנציאל בתוך התחום. נניח כמו כן שבתוך האזור אין מטענים, כך שפונקצית הפוטנציאל מקיימת את משוואת לפלס בתוכו. המעבר מבעיה תלת מימדית לבעיה דו מימדית נעשה כאשר ממשיכים את כל המטענים בכיוון אחד לאינסוף ולמינוס אינסוף: המשכה זו גוררת שכל השדות בכיוון הזה ישוו לאפס ופונקציית הפוטנציאל לא תהיה תלויה באותו כיוון. שיטת העבודה: מוצאים העתקה fשמעבירה את השפה לשפה יותר פשוטה. למשל, השפה הכי נפוצה היא קבל אינסופי: איור 1.0: קבל לוחות במישור המרוכב בקבל אינסופי הפוטנציאל הוא פונקציה ליניארית של הקואורדינטה האנכית. האמנות בפתרון של בעיות הפוטנציאל תהיה בחירת פונקצית ההעתקה f. דוגמה: התחום הוא החצי העליון של מישור (y,x). נתון כי הפוטנציאל מקבל את הערך אפס בחצי הימני של ציר ה x ואת הערך Vבחצי 0 הימני של ציר ה x. בחצי המישור העליון כמו כן, יש ואקום, לכן הפוטנציאל שם מקיים את משוואת לפלס. נרצה לדעת מה תהיה פונקצית הפוטנציאל בחצי העליון של המישור. את הבעיה הפיזיקלית נתאר במישור הקומפלקסי. נבחר את הפוטנציאל שיהווה חלק המדומה של פונקציה קומפלקסית:.w ובקיצור, הרכיב האנכי של נקודה במישור,w (z) = U (z) + iv (z) נתבונן בהעתקה: (z) w. = k log פונקציה זו מעתיקה את החלק העליון של המישור המרוכב לרצועה: < V < kπ 0 : העתקת ה log k מעתיקה את החצי החיובי של הציר הממשי (0 > x )לכל הציר הממשי: ( < U < ). החצי השלילי של הציר הממשי יועתק לקו: U, + ikπ היכן ש 1

2 איור.0: חצי מישור מועתק לקבל ( < U < ). אם נציב את תנאי השפה בבעיה החדשה נקבל בעיה פשוטה יותר: הפוטנציאל על הלוח התחתון אפס ועל הלוח העליון הפוטנציאל שווה ל V. לכן, אם נבחר: w. = V π אם נבטא את z בתור נורמה כפול ארגומנט יהיה נוח log (z) נקבל:,kπ = V לראות את החלק הממשי ואת החלק המדומה של ההעתקה w:.z = z e iθ log z = log z + iθ כך אנו מקבלים שהפוטנציאל, בהיותו החלק המדומה. V π באופן מפורש, של ההעתקה w יקבל את הערך: (z) rg ( ) φ (x, y) = V π rccos x. x + y קווים שווי פוטנציאל: ברור לנו כי בבעיה המועתקת קווים שווי פוטנציאל יהיו קווים אופקיים, כל קו והפוטנציאל שלו. הקווים שווי הפוטנציאל בבעיה המקורית לעומת זאת יהיו קרניים איור 3.0: קרניים כקווים שווי פוטנציאל, המועתקים לקווים אופקיים היוצאות מהראשית. המשמעות של U, הצמוד המרוכב: אנחנו יודעים שהשדה החשמלי הוא מינוס הגרדיאנט של פונקצית הפוטנציאל. השדה הם קווים שכיוונם הוא ככיוון השדה, לכן הם מאונכים לקווי הפוטנציאל. קווי היות

3 שבהעתקה הקונפורמית הזווית בין שני קווים בנקודת החיתוך שלהם נשארת גם בעינה עבור הקווים המועתקים. במישור w קווים המאונכים לקווים בהם V קבוע הם קווים בהם U קבוע, כך שאם מציירים בנוסף לקווי השדה את קווי הפוטנציאל מקבלים רשת שתי וערב של קווים. בבעיה האמיתית קווי השדה יהיו מעגלים, המאונכים לקרניים של קווי הפוטנציאל. איור 4.0: קווי שדה וקווים שווי פוטנציאל מתוך ההיגיון הזה אנו נדחפים למסקנה שקווי הפוטנציאל הם קווים עם V קבוע וקווי שדה הם קווים שבהם U קבוע. מחוק גאוס אנו יודעים שכמות המטען פרופורציונית למספר קווי השדה. לכן, כמות המטען בין U 1 ל U תהיה פרופורציונית למספר הקווים בין U 1 ל, U זאת אומרת ל.U U 1 נחזור לבעיה המקורית. נניח כי אנו רוצים לדעת כמה מטען ליחידת אורך יש בין x = ל x. = לשם כך, עלינו למצוא את השדה ליד המוליך והקפיצה בשדה היא כידוע צפיפות מטען המשטחית. השדה החשמלי הוא מינוס הגרדיאנט של הפוטנציאל. לכן: E. y = φ נצטרך את הגבול בו + 0 = y. צפיפות המטען לפי חוק גאוס היא הקפיצה y y=0+.4πkσ (x) = E y אם לצפיפות זו נעשה אינטגרל E y y=0 = E y y=0+ בשדה: לפי x בין ל, נמצא כמה מטען ליחידת אורך מצוי באזור הזה. לכן:. אבל לפי תנאי קושי רימן אנו יודעים כי: 4πk q L = φ y x V. לכן: y.4πk q האורך L הוא אורך בכיוון שבו הומשך הכול L = = U U x = U (, 0) U (, 0) 4πk q L = V π לאינסוף. לכן: ln 3

4 איור 5.0: מציאת המטען 1 שאלת תיל תיל לבדו תיל אינסופי דק הטעון בצפיפות מטען λ. התיל נמצא בראשית. כצד נראית פונקצית הפוטנציאל מסביבו? 1.0. תיל ליד משטח נתון משטח מוארק המהווה את החצי הימני של ציר ה x. מעל המשטח, בנקודה ) 1 x) 1, y מוצב תיל אינסופי בעל צפיפות מטען אורכית λ, ראה ציור. חשב את צפיפויות המטען השטחיות בדופן העליונה של הלוח ובדופן התחתונה, כפונקציה של x. איור 1.1: תיל ליד חצי מישור מוארק רמז: לוח חצי אינסופי יחשב בתור גזרה בעלת זווית פתיחה π. שדה חשמלי: נניח כי הפוטנציאל הוא החלק המדומה של הפונקציה: (y w, = U(x, (y + iv,x) אנו יודעים מהגדרת השדה : y) E = V (x,, וברכיבים: w = U(x, y) : w ז"א y).φ (x, y) = V (x,.e x = V נראה למה שווה, E y = V y V (x, y) + i = ie x + V y = ie x E y 4

5 E = E x ie y = לפיכך, ניתן לכתוב:. V y = U השוויון האחרון ניצל את קושי ורימן: i w = i w z פתרון: פתרון לתיל לבדו עוד מימי גאוס אנחנו יודעים שאם נקיף תיל זה בגליל בעל גובה H ורדיוס r, שטח המעטפת כתוצאה מכך. E (r) πrh של הגליל היא, πrh והשטף דרך אותה מעטפת הוא: מקבלים אנו: E (r) = λ r ביחידות.cgs נכתוב את : E x ie y E x ie y = λ r x (cos θ i sin θ) = λ x + y λi y z x = λ + y z z = λ z. בהתאם לכך, ועד כדי קבוע נוכל לכתוב: w. = λi ln z הפוטנציאל בהתאם להסכם הוא החלק המדומה של w, ויקבל את הערך z φ, = λ ln כפי שזכור לנו מקורס λ πε 0 r בסיסי. תיל נקודתי הטעון בצפיפות מטען אורכית λ יוצר שדה חשמלי שערכו היכן ש r 0 שרירותי כלשהו. פוטנציאל זה ניתן לתיאור λ πε 0 ln ( r 0 ) r והוא נגזר מפוטנציאל λ i. אם התיל ממוקם בנקודה z 1 הפונקציה תהיה: πε 0 בתור החלק המדומה של (z) ln λ i πε 0 ln (z z 1 ) אם יש אוסף כזה של תיילים אינסופיים, כל אחד ממוקם בנקודה z, i אזי ניתן לכתוב את הפונקציה מרוכבת w שהחלק המדומה שלה הוא הפוטנציאל באופן הבא: w = i λ i ln (z z i ) i פני גליל : העתקת האקספוננט נתונה יריעה דו מימדית המהווה פני גליל. נניח כי ישנו מטען נקודתי λ 1 בנקודה z. 1 נתבונן בהעתקה t. = exp iz פני הגליל עברו להיות כל המישור המרוכב ב t. הפוטנציאל במישור t יהיה: ) 1 λ 1 i ln (t t לכן הפוטנציאל יהיה מתכונתי לפונקציה iλ 1 (ln (exp iz exp iz 1 ) + f (z, z 1 )) = = iλ 1 (ln [exp iz 1 (exp i (z z 1 ) 1)] + f (z, z 1 )) (.1) ( (.) iλ 1 iz 1 + i (z z ( 1) + ln (i) + ln sin (z z )) 1) נפתח עוד:.E x ie y = λ 1 cot z z1. השדה החשמלי יהיה: + iλ 1 3 פני חרוט אם לקונוס יש זווית פתיחה α ביחס לציר אז אחרי שפורסים אותו נקבל גזרה בזווית t = z π 1 β = z sin α שתי השוקיים בגזרה מזוהות זו עם זו. על ידי ההעתקה β. = π sin α 5

6 אנחנו מעבירים את פני החרוט למישור המרוכב. פונקצית הפוטנציאל תהיה לכן: ( ) (3.1) w = iλ 1 ln (t t 1 ) = iλ 1 ln z 1 1 sin α z sin α 1 4 החיים בסרט 0), )בסרט בתחום < z <,0 < y < מניחים תיל אינסופי הטעון בצפיפות אורכית λבנקודה z. 1 = i שפת הסרט מוארקת. תן ביטוי לפוטנציאל איור 1.4: תיל בתוך סרט העתקת t = e zπ מעתיקה את הסרט לחצי המישור העליון. התיל, מועתק לנקודה:.i e i π = t 1 קיבלנו תיל דק הנמצא ליד מישור אינסופי מוארק. איזה פוטנציאל נוצר, t 1 = e i π בסימן שלילי. בעקבותם? יש להוסיף תיל דמות, בנקודה 1.φ = λ 1 log t t או: t t 1 בתור פוטנציאל, ננסה את הפונקציה הבאה: (4.1) φ = λ 1 log e zπ e i π e zπ e i π. תנאי השפה? ניקח z = i + x ואז: מקיימת את האם.φ (i + x) = λ 1 log e xπ e i π בגבול השני, כאשר,z = x נקבל: e xπ e i π = 0.φ (x) = λ 1 log e xπ e i π e xπ e i π = 0 נמצא למה שווה λ. 1 ברור לנו שבנקודות קרובות לתיל, הפוטנציאל צריך להתבדר כמו 1 λ. log z z אם נתבונן רק באיבר ההתבדרות, נוכל לכתוב: )) (4.) λ 1 log (e π (e z1 (z z1) π 1 = λ log z z 1 אם מפתחים לטור חזקות מוצאים שהאיבר המתבדר לוגריתמית מתלכד בשני האגפים, לכן. λ 1 = λ [ (4.3) φ = λ log e zπ e i π cosh xπ e zπ e i π = λ log cos ( ] π (y )) cosh xπ cos ( π (y + )) יש לציין שהפתרון הזה הוא בעצם מציאת פונקצית גרין בבעיית דירכלה הדו מימדית בתחום הסרט הנ"ל. 6

7 5 סרט נוסף האזור בו נתעניין הוא התחום < y < 0. נתון לנו הפוטנציאל על שפת האזור: במישור = 0 y הפוטנציאל אפס, במשטח: כלשהו = z x < 0, y =, הפוטנציאל גם מתאפס, איור 1.5: הסרט והפוטנציאל על פניו ובאזור: כלשהו = z, x > 0, y =, הפוטנציאל מקבל ערך קבוע,.φ 0 נרצה למצוא את פונקצית הפוטנציאל באזור. א. מצא את הפוטנציאל על ידי ביצוע העתקה קונפורמית ב. מצא את הפוטנציאל על ידי פיתוח לטור (טור רציף הוא אינטגרל) פתרון איור.5: העתקת האקספוננט סעיף א': w. = e πz העתקה זו מעתיקה את הציר הממשי ב z לחלק החיובי של נבצע את ההעתקה: הציר הממשי ב w, ואת הדופן y = לחלק השלילי של הציר הממשי. הפונקציה שמעבירה t = φ 0 π את הבעיה לקבל לוחות רגיל היא: (1 + w) log נמצא לכן כי: (5.1) φ = φ 0 π rccos (e πx e πx cos πy cos πy ) ( πx + e sin πy ) סעיף ב': פתרון על ידי פתוח לטור נעשה הפרדת משתנים למשוואת לפלס, במישור.xy הפונקציות העצמיות הן:.sinh kye ikx 7

8 = y) φ (x, יש צורך להתאים הפוטנציאל ניתן להכתב כך: ka (k) (sinh ky) e ikx את המקדמים של אותן פונקציות כדי שיתאימו לתנאי השפה: (x) φ,,x) ( = φ 0 u היכן ש ( x ) u היא פונקצית מדרגה. נכתוב: φ (x, ) = φ 0 u (x) = ka (k) (sinh k) e ikx xu (x) e ikx = πδ (k) i k. מתוך טבלאות אנו יודעים:, כמו כן: ) k, xe ik x e ikx = πδ (k כך שנוכל לכתוב: ( φ 0 πδ (k) i ) = π sinh ka (k) A (k) = φ ( ) 0 πδ (k) i k k π sinh k 6 אליפסה x (הכוונה היא משטח אליפטי + y b נתונה אליפסה מואורקת המקיימת את המשוואה: = 1 שהחתך שלו במישור xy הוא אליפסה) בשאלה זו תצטרך להשתמש בהעתקה z = l cos w היכן ש l קבוע כלשהו בעל יחידות של אורך. איור 1.6: אליפסה מוארקת ולידה תיל מעל האליפסה הנ"ל מונח תיל דק ואינסופי בנקודה y, = y 0 הטעון בצפיפות אורכית λ. 1. בהינתן ו b מצא את l ואת הקו בעל פוטנציאל אפס במישור.UV. מצא את הקואורדינטות של התיל במישור.UV 3. תן ביטוי לפוטנציאל במישור UV ובמישור xy 4. מהו הכוח ליחידת אורך שפועל על התיל (הפרד את הביטוי לשדה ל : שדה הנגרם בגלל התיל הדק ושדה הנגרם בגלל האליפסה) 5. כתוב ביטוי לפוטנציאל עבור משטח מוארק שלידו מטען, בהתאם למאויר. 8

9 איור.6: אליפסה שרזתה והפכה לפס, ולידה תיל פתרון סעיף 1 כאשר משתמשים בפונקציות של אוילר מגיעים למסקנה:. = l cosh V, b = l sinh V רואים ש.x = l cosh V cos u, y = l sinh V sin u בעצם, V ו V מגדירים את אותה אליפסה. מתוך זהויות עבור הפונקציות ההיפרבוליות מוצאים: l = b ( ) סעיף.V 0 = rcsin h y0,u b 0 = π כמו כן אם נציב, נמצא: מיידית אנו רואים ש סעיף 3 הפוטנציאל במישור uv נגרם בגלל התיל ובגלל תיל הדמות שלו. הערך של V המתאים = rctn h ( b אליפסה V והקואורדינטות של תיל הדמות הן: ) לאליפסה שלנו הוא: 0 = π דמותW. הפוטנציאל במישור UV הוא: ( + i rctn h ( ) ( )) b rcsin h y0 b w w φ = λ log 0 w W דמות מה קורה בגבול 0 b? נקבל אז פס ברוחב. 9